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电磁现象的普遍规律 练习题
1. 根据算符▽的微分形与矢量形，推导下列公式：▽（A·B）=B×（▽×A）+（B·▽）A+A×（▽×B）+（A·▽）B，A×（▽×A）=▽A2/2-（A·▽）A。、
2. 设u是空间坐标x，y，z的函数，证明：▽f(u)=df/du▽u，▽·A(u)= ▽u·dA/du，▽×A(u)= ▽u×dA/du。
3. 设r=√[(x-x’)2+(y-y’)2+(z-z’)2]为源点x’到场点x的距离，r的方向规定为从源点指向场点。
a) 证明下列结果，并体会对源变数求微商（▽’=ex
b) 求▽·r，▽×r，(a·▽)r，▽(a·r)，▽·[E0sin(k·r)]及▽×[E0sin(k·r)]，其中a、k及E0均为常矢量。
4. 应用高斯定理证明∫vdV×f=∮sdS×f，应用斯托克斯定理证明∫sdS×▽ψ=∮Ldlψ。
5. 已知一个电荷系统的偶极距定义为p(t)=∫vρ(x’,t)x’dV’，利用电荷守恒定律
6. 若m是常矢量，证明除R=0点以外，矢量A=m×R/R3的旋度等于标量ψ=m·R/R3的梯度的负值，即▽×A=-▽ψ，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止自由电荷ρf，求
a) 空间各点的电场；
b) 极化体电荷和极化面电荷分布。
8. 内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流Jf，导体的磁导率为μ。求磁感应强度和磁化电流。
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度ρp总是等于体自由电荷密度ρf的-(1-ε0/ε)倍。
10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。
11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，电容率为ε1和ε2，今在两板接上电动势为ε的电池，求
a) 电容器两板上的自由电荷面密度ωf；
b) 介质分界面上的自由电荷面密度ωf。若介质是漏电的，电导率分别为σ1和σ2，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？
12. 证明： （1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足 tanθ2/tanθ1=ε2/ε1，其中ε1和ε2分别为两种介质的介电常数，θ1和θ2分别为界面两侧电场线与法线的夹角。（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线曲折满足tanθ2/tanθ1=σ2/σ1，其中σ1和σ2分别为两种介质的电导率。
13. 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。
14. 内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为λf，板间填充电导率为σ的非磁性物质。
a) 证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。
b) 求λf随时间的衰减规律。
c) 求于轴相距为r的地方的能量耗散功率密度。
d) 求长度为l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。
